في الرياضيات ، و معدل تغيير وظيفة فيما يتعلق بمتغير ، و هي مشتقات أساسية
في حل المشاكل في حساب التفاضل و التكامل و المعادلات التفاضلية .
بشكل عام ، يلاحظ العلماء النظم المتغيرة (الأنظمة الديناميكية ) للحصول على معدل التغير
لبعض المتغيرات ذات الاهتمام ، و دمج هذه المعلومات في بعض المعادلات التفاضلية ،
و استخدام تقنيات التكامل للحصول على وظيفة يمكن استخدامها للتنبؤ بسلوك الأصل
النظام في ظل ظروف متنوعة.
تحول المنطقة الدائرية إلى منطقة مستطيلة تقريبًا ، يشير هذا إلى أن الثابت نفسه (π)
يظهر في صيغة المحيط ، 2πr ، و في صيغة المنطقة ، πr2 ، مع زيادة عدد القطع
(من اليسار إلى اليمين) ، يتقارب "المستطيل” على مستطيل πr بواسطة r مع المساحة
πr2 – و هي نفس مساحة الدائرة ، هذه الطريقة لتقريب المنطقة (المعقدة) عن طريق
تقسيمها إلى مناطق أبسط تعود إلى العصور القديمة و تعاود الظهور في حساب التفاضل
و التكامل.
تحليل المشتقات عالية الترتيب
– يمكن تطبيق عملية التمايز عدة مرات على التوالي ، مما يؤدي بشكل خاص إلى المشتق
الثاني f ، و هندسيًا ، يمكن تفسير مشتق دالة باسم المنحدر من الرسم البياني للدالة ،
أو بدقة أكثر، و المنحدر من الظل خط في نقطة.
– حسابها في الواقع مستمد من صيغة منحدر لخط مستقيم ، إلا أن الحد من عملية يجب
أن تستخدم للمنحنيات ، و يتم التعبير عن المنحدر غالبًا على أنه "الارتفاع” على "المدى” أو ،
من حيث الديكارتي ، نسبة التغير في y إلى التغير في x .
– بالنسبة للمنحنى ، تعتمد هذه النسبة على المكان الذي يتم فيه اختيار النقاط ، مما
يعكس حقيقة أن المنحنيات ليس لها ميل ثابت ، للعثور على الميل عند النقطة المرغوبة ،
يمثل اختيار النقطة الثانية اللازمة لحساب النسبة صعوبة لأنه ، بصفة عامة ،
فإن النسبة لا تمثل سوى ميل متوسط بين النقاط ، بدلاً من الميل الفعلي في أي نقطة.
– يمكن تحديد الميل ، أو معدل التغير الفوري ، لمنحنى عند نقطة معينة (x0 ، f (x0))
من خلال مراقبة الحد من متوسط معدل التغيير كنقطة ثانية (x0 + h ، f (x0 + ح)) يقترب
من النقطة الأصلية.
– يمكن تحديد الميل ، أو معدل التغير الفوري ، لمنحنٍ في نقطة معينة ( x 0 ، f ( x 0 ))
من خلال ملاحظة الحد الأقصى لمتوسط معدل التغيير كنقطة ثانية ( x 0 + h ، f ( x 0 + h ))
تقترب من النقطة الأصلية.
تعميم المشتقات
– يمكن توسيع مفهوم المشتق إلى العديد من الإعدادات الأخرى ، الخيط المشترك
هو أن مشتق دالة في نقطة ما بمثابة تقريب خطي للوظيفة في تلك المرحلة.
– تعميما هاما من اهتمامات مشتقة مهام معقدة من المتغيرات المعقدة ، مثل وظائف
من (مجال في) الأعداد المركبة C إلى C ، و يتم الحصول على فكرة مشتق من هذه الوظيفة
عن طريق استبدال المتغيرات الحقيقية مع المتغيرات المعقدة في التعريف.
– إذا تم تحديد C بالرمز R 2 عن طريق كتابة رقم مركب z كـ x + iy ، فمن المؤكد أن دالة
مميزة من C إلى C يمكن تمييزها كدالة من R 2 إلى R 2(بمعنى أن جميع مشتقاته الجزئية
موجودة) ، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام: المشتق المركب موجود فقط إذا كان المشتق الحقيقي خطيًا معقدًا وهذا يفرض العلاقات بين المشتقات الجزئية التي
تسمى معادلات كوشي ريمان.
– يتعلق التعميم الآخر بالوظائف بين الفتحات المختلفة أو السلسة ، حيث يتحدث بشكل
حدسي هذا المتعددة M هو المساحة التي يمكن أن يقترب قرب كل نقطة س بمسافة
ناقلات دعا لها مساحة الظل : على سبيل المثال تنميط هو سطح أملس في R 3 .
– المشتق (أو التفاضلي) للخريطة (القابلة للتمييز) f : M → N بين المشعبات ، عند النقطة x
في M ، هو بعد ذلك خريطة خطية من الفضاء المماسي لـ M عند x إلى الفضاء المماسي
لـن في و ( س ) ، و تصبح وظيفة مشتقة خريطة بين حزم الظل من M و N ،
هذا التعريف هو أمر أساسي في الهندسة التفاضلية ، و لها العديد من الاستخدامات.
– يمكن أيضا تعريف التمايز للخرائط بين الأبعاد اللانهائية المساحات ناقلات مثل المساحات
باناخ و المساحات فريشيه ، هناك تعميم لكلٍّ من مشتق الاتجاه ، يُطلق عليه مشتق جاتو ،
و المشتق التفاضلي ، و يُطلق عليه مشتق فريتشت.
– أحد أوجه القصور في المشتق الكلاسيكي هو أن العديد من الوظائف لا يمكن تمييزها.
ومع ذلك ، هناك طريقة لتوسيع مفهوم المشتق بحيث يمكن التمييز بين جميع الوظائف
المستمرة والعديد من الوظائف الأخرى باستخدام مفهوم يعرف باسم المشتق الضعيف .
تتمثل الفكرة في تضمين الوظائف المستمرة في مساحة أكبر تسمى مساحة التوزيعات
وتتطلب فقط أن تكون الوظيفة مختلفة "في المتوسط”.
عضويتي 
بحث عن المشتقات في الرياضيات
من انامل مانعدمهـــا
ممتنــة لروعــة حضـوركـ
