سهر الليالي
04-25-2021, 10:02 PM
الأسطوانة: The cylinder هي عبارة عن مجسم ثلاثي الأبعاد، يحتوي على قاعدتين؛
إحداهما علوية وأخرى سفلية، تتخذ كل منهما شكلاً دائرياً، وتتميز هاتين القاعدتين
بتقابلهما وتطابقهما، وينتج الشكل الأسطواني من التفاف ودوران مستطيل حول أحد
جوانبه دورةً كاملةً وللشكل الأسطواني مجموعة من المميزات ، منها احتواؤه على جانب
وحيد على شكل منحني، وقاعدة مسطحة الشكل .
استعمالات الإسطوانة
بالنسبة لاستعمالات الأسطوانة فهي عديدة، ومنها استخدام هذا المجسم في تطبيقات
الحياة العملية كخراطيم ومضخات المياه التي تحتوي على مجسم أسطواني لسهولة
ضخ المياه إلى الخارج كتلك المستخدمة في سيارات الإطفاء وغيرها، كما وتمثل العديد
من الآثار والأبنية التاريخية أعمدة منقوشة ومنحوتة على شكل أسطوانة، والمطابع التي
تستخدم ماكنة على شكل أسطوانة يدور حولها الورق، ولا تتوقف استخدامات الأسطوانة
على ذلك، فهناك العديد من الاستخدامات التي لا تعد ولا تحصى لها في الصناعات والحياة
العملية .
قانون حساب حجم الأسطوانة
يتم حساب حجم الاسطوانة عن طريق ضرب مساحة قاعدتها في الارتفاع ، وبما أنّ القاعدة
تمثل دائرة ، فإنّ مساحة قاعدة الأسطوانة تساوي مساحة الدائرة، والتي هي:
مساحة الدائرة= π× (نصف القطر)²، وعليه فإنّ حجم الأسطوانة يساوي :
(حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة).
مساحة قاعدة الأسطوانة = مساحة الدائرة.
مساحة قاعدة الأسطوانة = π× (نق)².
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع، حيث إنّ:
نق: نصف قطر الدائرة أو القطر مقسوماً على العدد2.
ع: ارتفاع الأسطوانة.
أمثلة على حساب حجم الأسطوانة
مثال (1)
جد حجم مجسم على شكل أسطوانة، إذا علمت أنّ قطر قاعدته يساوي 28 م،
وارتفاعه يساوي 10 م.
الحل
نطبق قانون حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الارتفاع ونصف القطر في القانون، (نق=2/28=14).
حجم الأسطوانة= ²14 ×10×π
إذن: حجم الأسطوانة = π1960 م³، الحجم بدلالة باي، وفي حال تعويض قيمة π يصبح الناتج:
حجم الأسطوانة= 6154.4م³.
مثال (2)
جد حجم أسطوانة، إذا علمت أنّ نصف قطر قاعدتها يساوي 3.5 م، وارتفاعها يساوي1.25م.
الحل
نطبق قانون حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الارتفاع ونصف القطر في القانون.
حجم الأسطوانة= ²3.5 ×1.25×π.
حجم الأسطوانة= 12.25 ×1.25×π
إذن: حجم الأسطوانة = π15.3125 م³، الحجم بدلالة باي، وفي حال تعويض قيمة π يصبح الناتج:
حجم الأسطوانة= 48.08125 م³.
مثال (3)
جد ارتفاع خزان ماء أسطواني الشكل، إذا علمت أن سعته24640 م³، وطول قطر قاعدته يساوي 14م.
الحل
نطبق قانون حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الحجم ونصف القطر في القانون، (نق=2/14=7).
24640= ²7×π×ع.
24640= π×49×ع، (وبقسمة طرفي المعادلة على π49 ، باستخدام الآلة الحاسبة).
الارتفاع= 160م تقريباً.
مثال (4)
أنبوب بلاستيكي أسطواني الشكل مفرغ من الداخل، إذا علمت أن ارتفاعه يساوي 12سم، وقطر الأسطوانة الخارجية الأكبر يساوي 4سم، وقطر الأسطوانة الداخلية الأصغر يساوي 3سم، احسب حجم المادة التي صنع منها الأنبوب البلاستيكي.
الحل
أولا : يتم إيجاد حجم الأسطوانة الخارجية :
حجم الأسطوانة الخارجية = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الخارجية = πײ2×12.
حجم الأسطوانة الخارجية = π×4×12.
حجم الأسطوانة الخارجية=π48سم³.
ثانياً : يتم إيجاد حجم الأسطوانة الداخلية
حجم الأسطوانة الداخلية= مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×1.5²×12.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×2.25×12.
حجم الأسطوانة الداخلية=π27سم³.
ثالثاً: يتم إيجاد حجم المادة البلاستيكية.
حجم المادة= حجم الأسطوانة الخارجية- حجم الأسطوانة الداخلية.
حجم المادة= π27-π48.
إذن حجم المادة=π21سم³.
مثال5
موشور رباعي قائم قاعدته مربعة الشكل، طول جانبها يساوي 7م، موضوع داخل أسطوانة دائرية قائمة، ارتفاعها يساوي 15م، أما حجمها فيساوي 900م³، احسب المنطقة الفارغة التي تقع بين الأسطوانة والموشور
الحل
أولاً: يتم إيجاد حجم الموشور:
حجم الموشور= مساحة قاعدة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الموشور=²7×15.
حجم الموشور=735م³.
ثانياً: يتم إيجاد حجم المنطقة الفارغة.
حجم المنطقة الفارغة= حجم الأسطوانة -حجم الموشورالداخلي.
حجم المنطقة الفارغة= 900-735.
إذن حجم المنطقة الفارغة=165م³.
حجم مخروط مشترك مع الأسطوانة في القاعدة والارتفاع
يمكن ملء أي أسطوانة بمادة معينة ( رمل، ماء، عصير) عن طريق استخدام مخروط مشترك معها بنفس القاعدة والارتفاع، حيث ستمتلئ الأسطوانة بعد ثلاث مرات تماماً من تعبئة المخروط وسكبه في الأسطوانة، وبناء عليه فإن: (حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها بنفس الارتفاع والقاعدة )
وبناء عليه فإن :
قانون حجم المخروط= 3/1 حجم الأسطوانة المشتركة معه في نفس الارتفاع والقاعدة.
إذن: حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
أمثلة تبين كيفية حساب حجم المخروط
مثال1
أوجد حجم مخروط إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي 4سم ، وارتفاعه يساوي 10سم؟
الحل
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 10×(4²
حجم المخروط= 3/1 × π× 10×4×4
حجم المخروط= 3/1 × π× 10×16
حجم المخروط= 3/1 × π× 160
إذن: حجم المخروط= 53.33333333333 πسم³، (الجواب بدلالة π).
مثال2
جد حجم مجسم على شكل مخروط، إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي 1.5 م، وارتفاعه يساوي 3م ؟
الحل
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 3×(1.5²
حجم المخروط= 3/1 × π× 3×1.5×1.5
وباختصار العدد 3، ينتج أن:
إذن: حجم المخروط = π2.25م³، (الجواب بدلالة π).
إحداهما علوية وأخرى سفلية، تتخذ كل منهما شكلاً دائرياً، وتتميز هاتين القاعدتين
بتقابلهما وتطابقهما، وينتج الشكل الأسطواني من التفاف ودوران مستطيل حول أحد
جوانبه دورةً كاملةً وللشكل الأسطواني مجموعة من المميزات ، منها احتواؤه على جانب
وحيد على شكل منحني، وقاعدة مسطحة الشكل .
استعمالات الإسطوانة
بالنسبة لاستعمالات الأسطوانة فهي عديدة، ومنها استخدام هذا المجسم في تطبيقات
الحياة العملية كخراطيم ومضخات المياه التي تحتوي على مجسم أسطواني لسهولة
ضخ المياه إلى الخارج كتلك المستخدمة في سيارات الإطفاء وغيرها، كما وتمثل العديد
من الآثار والأبنية التاريخية أعمدة منقوشة ومنحوتة على شكل أسطوانة، والمطابع التي
تستخدم ماكنة على شكل أسطوانة يدور حولها الورق، ولا تتوقف استخدامات الأسطوانة
على ذلك، فهناك العديد من الاستخدامات التي لا تعد ولا تحصى لها في الصناعات والحياة
العملية .
قانون حساب حجم الأسطوانة
يتم حساب حجم الاسطوانة عن طريق ضرب مساحة قاعدتها في الارتفاع ، وبما أنّ القاعدة
تمثل دائرة ، فإنّ مساحة قاعدة الأسطوانة تساوي مساحة الدائرة، والتي هي:
مساحة الدائرة= π× (نصف القطر)²، وعليه فإنّ حجم الأسطوانة يساوي :
(حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة).
مساحة قاعدة الأسطوانة = مساحة الدائرة.
مساحة قاعدة الأسطوانة = π× (نق)².
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع، حيث إنّ:
نق: نصف قطر الدائرة أو القطر مقسوماً على العدد2.
ع: ارتفاع الأسطوانة.
أمثلة على حساب حجم الأسطوانة
مثال (1)
جد حجم مجسم على شكل أسطوانة، إذا علمت أنّ قطر قاعدته يساوي 28 م،
وارتفاعه يساوي 10 م.
الحل
نطبق قانون حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الارتفاع ونصف القطر في القانون، (نق=2/28=14).
حجم الأسطوانة= ²14 ×10×π
إذن: حجم الأسطوانة = π1960 م³، الحجم بدلالة باي، وفي حال تعويض قيمة π يصبح الناتج:
حجم الأسطوانة= 6154.4م³.
مثال (2)
جد حجم أسطوانة، إذا علمت أنّ نصف قطر قاعدتها يساوي 3.5 م، وارتفاعها يساوي1.25م.
الحل
نطبق قانون حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الارتفاع ونصف القطر في القانون.
حجم الأسطوانة= ²3.5 ×1.25×π.
حجم الأسطوانة= 12.25 ×1.25×π
إذن: حجم الأسطوانة = π15.3125 م³، الحجم بدلالة باي، وفي حال تعويض قيمة π يصبح الناتج:
حجم الأسطوانة= 48.08125 م³.
مثال (3)
جد ارتفاع خزان ماء أسطواني الشكل، إذا علمت أن سعته24640 م³، وطول قطر قاعدته يساوي 14م.
الحل
نطبق قانون حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الحجم ونصف القطر في القانون، (نق=2/14=7).
24640= ²7×π×ع.
24640= π×49×ع، (وبقسمة طرفي المعادلة على π49 ، باستخدام الآلة الحاسبة).
الارتفاع= 160م تقريباً.
مثال (4)
أنبوب بلاستيكي أسطواني الشكل مفرغ من الداخل، إذا علمت أن ارتفاعه يساوي 12سم، وقطر الأسطوانة الخارجية الأكبر يساوي 4سم، وقطر الأسطوانة الداخلية الأصغر يساوي 3سم، احسب حجم المادة التي صنع منها الأنبوب البلاستيكي.
الحل
أولا : يتم إيجاد حجم الأسطوانة الخارجية :
حجم الأسطوانة الخارجية = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الخارجية = πײ2×12.
حجم الأسطوانة الخارجية = π×4×12.
حجم الأسطوانة الخارجية=π48سم³.
ثانياً : يتم إيجاد حجم الأسطوانة الداخلية
حجم الأسطوانة الداخلية= مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×1.5²×12.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×2.25×12.
حجم الأسطوانة الداخلية=π27سم³.
ثالثاً: يتم إيجاد حجم المادة البلاستيكية.
حجم المادة= حجم الأسطوانة الخارجية- حجم الأسطوانة الداخلية.
حجم المادة= π27-π48.
إذن حجم المادة=π21سم³.
مثال5
موشور رباعي قائم قاعدته مربعة الشكل، طول جانبها يساوي 7م، موضوع داخل أسطوانة دائرية قائمة، ارتفاعها يساوي 15م، أما حجمها فيساوي 900م³، احسب المنطقة الفارغة التي تقع بين الأسطوانة والموشور
الحل
أولاً: يتم إيجاد حجم الموشور:
حجم الموشور= مساحة قاعدة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الموشور=²7×15.
حجم الموشور=735م³.
ثانياً: يتم إيجاد حجم المنطقة الفارغة.
حجم المنطقة الفارغة= حجم الأسطوانة -حجم الموشورالداخلي.
حجم المنطقة الفارغة= 900-735.
إذن حجم المنطقة الفارغة=165م³.
حجم مخروط مشترك مع الأسطوانة في القاعدة والارتفاع
يمكن ملء أي أسطوانة بمادة معينة ( رمل، ماء، عصير) عن طريق استخدام مخروط مشترك معها بنفس القاعدة والارتفاع، حيث ستمتلئ الأسطوانة بعد ثلاث مرات تماماً من تعبئة المخروط وسكبه في الأسطوانة، وبناء عليه فإن: (حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها بنفس الارتفاع والقاعدة )
وبناء عليه فإن :
قانون حجم المخروط= 3/1 حجم الأسطوانة المشتركة معه في نفس الارتفاع والقاعدة.
إذن: حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
أمثلة تبين كيفية حساب حجم المخروط
مثال1
أوجد حجم مخروط إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي 4سم ، وارتفاعه يساوي 10سم؟
الحل
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 10×(4²
حجم المخروط= 3/1 × π× 10×4×4
حجم المخروط= 3/1 × π× 10×16
حجم المخروط= 3/1 × π× 160
إذن: حجم المخروط= 53.33333333333 πسم³، (الجواب بدلالة π).
مثال2
جد حجم مجسم على شكل مخروط، إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي 1.5 م، وارتفاعه يساوي 3م ؟
الحل
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 3×(1.5²
حجم المخروط= 3/1 × π× 3×1.5×1.5
وباختصار العدد 3، ينتج أن:
إذن: حجم المخروط = π2.25م³، (الجواب بدلالة π).